例えば、お金が無い元夫の変わりに妻が子を育てた場合に、その費用を過去にかかった養育費として元夫に請求することはできるのでしょうか?

結論から言うと過去の養育費を請求することは可能です。

親が子を扶養する義務というのは、逃れえることのできない重たい義務です。
ですから、一時その費用「(養育費)の支払いから逃れたとしても、その扶養義務は消滅しないために養育費の負担義務も消滅しません。

とはいっても、いきなり多額の養育費を請求される側にとっては、
養育費の請求が不測の事態になりかねないという問題があります。

そこで、過去の養育費とすべきものを請求された時点から計算をする方法が取られています。
つまり、請求していなかった時期の養育費については請求することができないとされています。

とはいっても、養育を受ける未成年者等に養育費が必要なことは明らかであり、
養育費の請求されていなっから負担をしないというのは公平に欠けます。

ですから、実務では請求という概念を拡張しつつ一切の事情を考慮して、
以後の養育費の支払いを決定しています。